Untuk mahasiswa UNRIKA Matematika FKIP (studi statistik matematis )

Pengantar Statistika Matematis I
VARIABEL RANDOM
Pendahuluan
Dalam modul-modul statistik sering dijumpai istilah variabel random, namun para mahasiswa belum memahami dengan jelas apa yang dimaksud dengan konsep variabel random dan peluangnya. Ada anggapan bahwa pengguna rumus-rumus statistik kurang memerlukan konsep itu dan konsep variabel random hanya diperlukan oleh mereka yang mendalami teori statistik saja. Anggapan seperti itu kurang tepat, karena terapan sederhana seperti uji hipotesis atau teorema limit pusat sangat didasari oleh peluang variabel random. Oleh karena itu, mahasiswa jurusan statistik diharapkan mau mempelajari konsep tersebut dengan sungguh-sungguh.
Sebagaimana dinamakan, variabel random adalah nilai yang berubah-ubah dari satu kejadian random ke kejadian random lain. Dalam eksperimen kita sering tertarik pada fungsi hasil, bukan pada hasil eksperimen itu sendiri.
Contoh: 1. Dalam eksperimen melempar dua buah dadu, sering kita lebih tertarik pada jumlah mata dadu yang muncul bukan pada dadu yang mana muncul dan memberikan jumlah mata.
2. Misalkan kita melakukan kita melakukan observasi kelahiran bayi dari 100 orang ibu hamil. Biasanya kita tertarik pada jumlah bayi perempuan yang lahir, bukan pada ibu yang mana melahirkan bayi perempuan.
Jumlah dua mata dadu yang muncul maupun jumlah bayi lahir dari 100 ibu hamil dalam contoh di atas merupakan fungsi dari satu kejadian ke kejadian yang lain dan nilainya tentu berubah ubah. Fungsi yang ditentukan disebut variabel random karena nilainya bervariasi (berubah-ubah) dari satu kejadian random ke kejadian random yang lain. Dalam contoh pelemparan dua buah dadu tersebut, jika kejadiannya adalah dadu pertama muncul mata 3 sedangkan dadu kedua muncul mata 5 maka kejadian (3, 5) mempunyai nilai fungsi atau nilai variabel random sama dengan 8.
Tutorial online kali ini akan membahas: berbagai hal yang berkaitan dengan variabel random, seperti ruang sampel dan kejadian, definisi dan aksioma peluang, frekuensi relatif, pengertian variabel random, serta penjumlahan dan perkalian variabel random.
Dalam membahas variabel random, tak bisa lepas dari konsep peluang. Oleh karena itu Anda diharapkan sudah memahami dengan baik tentang peluang.
2. Definisi Variabel Random
Pandang suatu eksperimen random dengan titik-titik sampel yang mungkin , i=1,2,…,n. dan ruang sampelnya adalah S={,…,}. Suatu peubah acak X ialah suatu fungsi bernilai real dengan daerah definisi.

Contoh 2.
Suatu eksperimen dengaan melempar sebuah koin tiga kali. Ruang sampelnya adalah
S = { HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT, TTT }
Misalkan variabel random X = jumlah H yang muncul dalam eksperimen tersebut, maka X adalah fungsi yang memetakan S= {HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT, TTT} ke ℜ dengan range {0, 1, 2, 3 }
ℜ
S TTT X - -1
TTH - 0 X(TTT)=X=0
THT - 1 X(TTH)= X(THT)= X(HTT)=1
HTT - 2 X(THH)= X(HTH)= X(HHT)=2
THH - 3 X(HHH)=3
HTH
HHT
HHH
Catatan: Dapat juga dikatakan bahwa pendefinisian variabel random adalah proses kuantifikasi titik-titik sampel dalam ruang sampel.
Contoh 3.
Suatu eksperimen dengan melempar sepasang dadu satu kali. Jika (a,b) menyatakan pasangan mata dadu yang muncul dimana a mata dadu pertama dan b mata dadu kedua, maka ruang sampelnya adalah S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Beberapa contoh variabel random yang berhubungan dengan ruang sampel ini, misalnya
1. X = maksimum dari mata dadu yang muncul, yaitu maks(a,b).
2. Y = jumlah dari kedua mata dadu yang muncul, yaitu a+b.
3. W = perkalian dari kedua mata dadu yang muncul, yaitu ax b.
Ketiga variabel random ini adalah fungsi.
X = fungsi yang mengawankan setiap titik sampel (a,b) ke maks(a,b).
Y = fungsi yang mengawankan setiap titik sampel (a,b) ke a+b.
W= fungsi yang mengawankan setiap titik sampel (a,b) ke ax b.
3. Penjumlahan dan Perkalian Variabel Random
Jika X dan Y variabel random pada ruang sampel yang sama S, maka X+Y, X+k, kX, XY (k bil. real) adalah variabel random pada S juga, dengan definisi masing-masing:
(X+Y)(s)=X(s)+Y(s) , (X+k)(s)=X(s)+k , (kX)(s)=kX(s), (XY)(s)=X(s)Y(s).
Contoh 4.
Sebuah dadu seimbang dilempar satu kali. Misalkan variabel random X = dua kali mata dadu yang tampak, dan variabel random lain Y= 1 jika muncul mata ganjil dan Y=3 jika muncul mata genap. Tentu saja kedua variabel random tersebut mempunyai ruang sampel yang sama.
Disini S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Karena X(1)=2, X(2)=4, X(3)=6, X(4)=8, X(5)=10, X(6)=12, dan Y(1)=Y(3)=Y(5)=1, Y(2)=Y(4)=Y(6)=3, maka untuk:
s=1 (X+Y)(1)=X(1)+Y(1)=2+1=3 , (XY)(1)=X(1)Y(1)=2x1=2, →
s=2 (X+Y)(2)=X(2)+Y(2)=4+3=7, (XY)(2)=X(2)Y(2)=4x3=12, →
s=3 (X+Y)(3)=X(3)+Y(3)=6+1=7 , (XY)(3)=X(3)Y(3)=6x1=6, →
s=4 (X+Y)(4)=X(4)+Y(4)=8+3=11 , (XY)(4)=X(4)Y(4)=8x3=24, →
s=5 (X+Y)(5)=X(5)+Y(5)=10+1=11, (XY)(5)=X(5)Y(5)=10x1=10, →
s=6 (X+Y)(6)=X(6)+Y(6)=12+3=15 , (XY)(6)=X(6)Y(6)=12x3=36. →

Jadi variabel random adalah suatu fungsi yang mengaitkan setiap hasil dari suatu eksperimen dengan bilangan riil.
Sekarang kita akan mendefinisikan variable random secara formal:
Definisi 1.A Variabel Random X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S yang berharga bilangan riil, X(e) = x untuk setiap e dalam S.
Definisi 1.B Variabel Random pada Sistem Probabilitas (S,E,P): X fungsi berharga riil pada S yang memenuhi:
Untuk setiap interval I


Ruang Sampel untuk 2 lemparan dadu bersisi 4
Eksperimen melempar dadu bersisi 4 dua kali.
Suatu outcome e = (i, j) dengan {}ij variabel random X adalah maksimum dari hasil kedua lemparan X(e) = max (i, j)
Ruang sampel S distribusikan dalam gambar 2.1.
Masing-masing kejadian B1, B2 , B3 dan B4 dalam S memuat pasangan (i, j) dengan harga maksimum sama. Dengan kata lain x = 1 untuk B1, x = 2 untuk B2 , x = 3 untuk B3 dan x = 4 untuk B4.
Variabel random lain dapat juga ditentukan misalnya Y(e) = i + j yaitu total kedua lemparan.
Konsep variabel random mengizinkan kita untuk menghubungkan setiap ruang sampel S dengan ruang sampel yang merupakan himpunan bilangan riil, di mana kejadian yang dipikirkan merupakan himpunan bagian bilangan riil. Bila kejadian yang dinyatakan sebagai himpunan bilangan riil tersebut ditulis sebagai A maka (){}BeeSdanXeA=∈∈
merupakan kejadian dalam ruang sampel S.
Meskipun A dan B merupakan himpunan bagian ruang yang berbeda, mereka disebut kejadian yang ekuivalen, ditulis
P(X∈A) = P(B)


Soal 1
Misal kemampuan seseorang berjalan dalam 1 hari tidak melebihi 100 km. Dalam 1 hari seseorang berjalan dari kota A ke arah timur, berhenti setelah tidak bisa lagi meneruskan perjalanan.
X adalah jarak yang ditempuh. X menjalani suatu interval, dari X = 0 sampai X = 100. Biasa ditulis {0≤x≤100}.
Perhatikan bahwa variabel random dalam contoh 1, 2, 3, 8, 9 adalah diskrit. A adalah himpunan semua harga variabel random yang mungkin. Dalam hal ini setiap interval riil hanya memuat berhingga titik anggota A sehingga X merupakan variabel random diskrit.
Variabel random dalam contoh 4, 5, 6, 7, 10 adalah kontinu. Karena setiap interval riil (misalnya untuk contoh 10 : 5 ≤ X ≤ 100) memuat uncountable titik anggota A .
Secara sederhana identifikasi kedua variabel adalah,
1. variabel random diskrit, harganya menjalani bilangan cacah.
2. variabel random kontinu, harganya menjalani semua bilangan riil dalam suatu interval.

Soal 2
Dalam sebuah kotak tersedia m bola putih dan n bola merah. Diambil k bola tanpa pengembalian.
X = banyaknya bola merah yang terambil
X = 0, 1, 2, ..., min (n, k)

silahkan selesaikan dari statement tersebut

TEORI PROBABILITAS

I TEKNIK MENGHITUNG

Sekarang kita membahas teknik menghitung yang dimulai dengan analisis kombinatorik.

Analisis kombinatorik (disingkat kombinatorik) adalah cabang matematika yang berhubungan dengan cacah susunan berbeda dari obyek-obyek yang diberikan dengan berbagai batasan tertentu.
Seorang ahli komunikasi dalam menemukan kode-kode morse yang terdiri dari titik dan garis harus mengetahui jumlah kombinasi pola dari titik dan garis yang dapat dibentuk untuk jumlah titik dan garis yang telah ditentukan.

Pada abad ke-16 banyak orang melakukan permainan yang bersifat untung-untungan seperti permainan mendapatkan skor tertentu bila melemparkan dua atau tiga dadu, mendapatkan sebuah kartu pada suatu permainan kartu bridge. Itulah awal perkembangan kombinatorik.
Ada bebrapa yang akan dibahas dalam analisis kombinatorik ini yaitu: permutasi, kombinasi, dan pencacahan lain.
Ada dua prinsip pencacahan penting yang harus Anda hayati yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian.


Prinsip penjumlahan :
Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan m cara dan operasi kedua dengan n cara, maka operasi pertama atau operasi kedua dapat dilakukan dalam m + n cara.

Prinsip perkalian:
Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan m cara dan operasi lain dapat dilakukan dengan n cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dalam m  n cara.

Contoh: Jika dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 3 macam rute
dan dari B ke C dapat ditempuh dengan 4 rute, maka dari A ke C dapat
ditempuh dengan 3 x 4 =12 rurte.

Untuk Mahasiswa UIB Batam

start 17 november adalah mid semester, persiapkan diri menghadapi ujian

Untuk Mahasiswa UT

Anda yang sedang belajar di UT bisa menghubungi kami di
www.ut.ac.id

Untuk Mahasiswa Unrika

silahkan beri komentar, saran dan kritik untuk kemajuan kita bersama